Հանրահաշիվ ամփոփում

Posted on June 16, 2024 by Ալիկ Ասատրյան

Սահմանում։ F ֆունկցիան կոչվում է f ֆունկցիայի նախնական տրված միջակայքում, եթե այդ միջակայքի բոլոր x-երի համար F'(x)= f(x)։

F'(x)=(ax)=ax’=a= f(x), xeR

Եթե F(x) ֆունկցիան f(x) ֆունկցիայի նախնական է տրված միջակայքում, ապա կամայական С իրական թվերի համար F(x)+C ֆունկցիան նույնպես f(x) ֆունկցիայի նախնական է:

Սահմանում. Տրված միջակայքում f(x) ֆունկցիայի նախնականների համախմբությունն անվանում են f(x) ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալ և նշանակում f(x)dx (կարդացվում է` ինտեգրալ էֆ իքս դե իքս), այսինքն՝

[f(x)dx = F(x)+C, CeR,

որտեղ F-ը f -ի որևէ նախնական է։

Մասերով ինտեգրում։ Համաձայն արտադրյալի ածանցման կանոնի, եթե u և v ֆունկցիաներն X միջակայքում ածանցելի են, ապա u·v ֆունկցիան այդ միջակայքում նույնպես ածանցելի է, և

(u(x)v(x)) = u(x)v(x)+u(x)·v'(x):

Այս բանաձևի երկու կողմերն ինտեգրելով` ստանում ենք [(u(x)v(x)) dx = u(x)v(x)dx+fu(x)v(x)dx

Բանաձևը: Հաշվի առնելով, որ ս․v ֆունկցիան (u v) -ի նախնական է, այս- տեղից ստանում ենք մասերով ինտեգրման բանաձևը.

Փոփոխականի փոխարինում։ Բարդ ֆունկցիայի ածանցման կանոնից հետևում է, որ եթե F-ը f -ի նախնական է, և 8-ն ածանցելի է, ապա

(Fog)(x) = F'(g(x)) – g'(x) = f(g(x))g'(x),

այսինքն` F(g(x)) համադրույթը f ( g(x)) g(x) ֆունկցիայի նախնական է: Հետևաբար,

Եթե f(x)dx = F(x)+C, myu | f(g(x))g'(x)dx = F (g(x))+C:

Այս բանաձևը, որտեղ g(x) ֆունկցիան հանդես է գալիս որպես f ֆունկցիայի նոր փոփոխական, անվանում են փոփոխականի փոխարինման բանաձև։

Սահմանում։ Եթե F(x) ֆունկցիան f(x) անընդհատ ֆունկցիայի նախնական է, ապա F (b)-F(a) տարբերությունն անվանում են f(x) ֆունկցիայի (որոշյալ) ինտեգրալ [a,b] հատվածով և նշանակում [f(x)dx (Կարդացվում է` ինտեգրալ a-ից b էֆ իքս դե իքս):

Արհեստական բանականության կիրառումը ուսումնական գործընթացում․ վտանգները և հնարավորությունները

Posted on April 18, 2024April 23, 2024 by Ալիկ Ասատրյան

Հետազոտական աշխատանքը կատարվել է «Մխիթար Սեբաստացի» կրթահամալիր Քոլեջի 2-րդ կուրսի ուսանողներ Աշոտ Վարդանյանի և Դավիթ Խալաթյանի կողմից։

Գովելի է, որ ներկայացրել են խնդիրները և նշել են կատարած աշխատանքի նպատակը։

Ներածությունում անդրադարձել են արհեստական բանականությանը՝ նույն ինքը մեքենայական ինտելեկտին, նշել են, թե ինչումն է կայանում արհեստական բանականության էությունը։

Այնուհետև խոսել են ԱԲ-ն օգտագործման մասին կրթության ոլորտում։ Առանձնացնելով հետևյալ կետերը։

արհեստական բանականությամբ անհատակացված ուսուցում,
գնահատում և հետադարձ կապ,
վիրտուալ ուսուցիչներ և դաստիրակներ,
հարմարվողական կրթական հարթակներ,
տվյալների վերլուծություն և կանխատեսում,
դյուրին առաջադրանքներ,
ապագա հմտությունների զարգացում։

Հաջորդիվ ներկայացրել են ChatGPT-ին փոխարինող հարթակների մասին՝ վերջում անդրադառնալով ԱԲ-մբ աշխատող ծրագրերի ցանկին։ Որից հետո ընդգծել են այն մասնագիտությունները, որոնք վերացման եզրին են ԱԲ-ն պատճառով։ Զուգահեռ խոսվել է նաև այն մասնագիտությունների մասին որոնք համարվում են և համարվելու են պահանջված ապագայում։

Աշխատանքը ավարտելով միտքը ամփոփել են ԱԲ-ն ստեղծած խնդիրները և բերած օգուտները մատնանշելով։

Եզրակացություն։ Աշխատանքը ամբողջական է, համապատասխանում է թեմային, իրականացվել է հետազոտության նպատակը։ Աշխատանքը կարող է ներկայացվել պաշտպանության և ստանալ բարձր գնահատական։

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները

Posted on December 11, 2023 by Ալիկ Ասատրյան

Սահման, ներածություն

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները(Սահման)

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները(Տարամիտություն և զուգամիտություն)

Հաջորդականության սահմանի սահմանումը

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները(Սահման)

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները(Տարամիտություն և զուգամիտություն)

Զուգամետ և տարամետ հաջորդականություններ

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները(Սահման)

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները(Տարամիտություն և զուգամիտություն)

Հաջորդականության զուգամիտությունն ու տարամիտությունը

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները(Սահման)

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները(Տարամիտություն և զուգամիտություն)

Ընդհատվող ֆունկցիայի սահմանը

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները(Սահման)

Հաջորդականության սահման, e թիվը

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները(Սահման)

e (թիվ) Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները

e թվի Իռացիոնալության ապացուցում

e-ն որպես սահման

e (թիվ) Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները

e թվի Իռացիոնալության ապացուցում

Posted on December 11, 2023December 11, 2023 by Ալիկ Ասատրյան

Իռացիոնալության ապացուցում

$e$ թիվը հանդիսանում է հաշվելի (և հետևաբար նաև թվաբանական) թիվ։
, տես նաև Էյլերի բանաձևը, մասնավորապես՝
- $e^{i\pi} + 1 = 0 \,\!$
- $e=\cos(i) - i \sin(i)=\sinh(1) + \cosh(1)$

Բանաձևեր, որոնք կապ են հաստատում $e$ և $\pi$ թվերի միջև՝

այսպես կոչված «Պուասոնի ինտեգրալ» կամ «Գաուսի ինտեգրալ»

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}$

սահման

$e=\lim \limits_{n \to \infty} n \cdot \bigg (\frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \bigg )^{\frac 1n}$

Ցանկացած $z$ կոմպլեքս թվի համար ճիշտ են հետևյալ հավասարումները՝ $e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n$ :

$e$ թիվը կարելի է գրել անվերջ շղթայական կոտորակի տեսքով հետևյալ ձևով՝

$e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots] \,$ , այսինքն՝

2+11+12+11+11+14+11+11+16+11+11+18+11+11+110+11+… $e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{1 + \ldots}}}}}}}}}}}}}}}$

կամ նրան համարժեքը՝

2+11+12+23+34+4… $e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{2}{3 + \cfrac{3}{4+\cfrac{4}{\ldots}}}}}$

Արագ մեծ թվով նշանների հաշվման համար հարմար է օգտագործել հետևյալ տեսքը՝

$\frac{e+1}{e-1}=2 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{14 + \cfrac{1}{\ldots}}}}$

$e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$ ։
Կատալանայի ներկայացումը՝

$e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdot\sqrt[16]{\frac{18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31}}\cdots$

Արտադրյալի տեսքով ներկայացում՝

$e=\sqrt{3} \cdot \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{\left ( 2k+3 \right )^{k+\frac 12}\left ( 2k-1 \right )^{k-\frac 12}}{\left (2k+1 \right )^{2k}}$

Բելլի թվի միջոցով՝

$e = \frac{1}{B_n}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}$

$e$ թվի իռացիոնալության չափը հավասար է 2-ի (այն է իռացիոնալ թվերի համար ամենափոքր հնարավոր արժեքը)։

Պատմություն

Այս թիվը երբեմն անվանում են նեպերյան ի պատիվ շոտլանդացի գիտնական Նեպերի, ով հայտնի է «Լոգարիթմների զարմանալի աղյուսակի նկարագրություն» աշխատությունով (1614 թվական)։ Սակայն այս անվանումն այնքան էլ տեղին չէ, քանի որ նրանում $x$ թվի լոգարիթմը հավասար էր 107⋅log1/(107) $10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right) \,\!$ ։

Առաջին անգամ հաստատունը ոչ ակնհայտ երևում է Նեպերի վերոնշյալ աշխատության հավելվածի անգլերեն թարգմանությունում, որը հրապարակվել է 1618 թվականին։ Ոչ ակնհայտ, որովհետև այնտեղ պարունակվում էին միայն բնական լոգարիթմների աղյուսակները, որոշված կինեմատիկ նկատառումներից, իսկ ինքը՝ հաստատունը, չի ներկայացել։

Ենթադրվում է, որ աղյուսակի հեղինակը եղել է անգլիացի մաթեմատիկոս Օտրեդը։

Հենց նույն հաստատունը առաջին անգամ հաշվել է շվեյցարացի մաթեմատիկոս Բեռնուլին սահմանային եկամուտի մեծության որոշման խնդրի լուծման ժամանակ։ Նա հայտնաբերել է, որ եթե սկզբնական գումարը 1 դոլար է և հաշվարկվում է 100% տարեկան մեկ անգամ տարվա վերջում, ապա գումարային արդյունքը կկազմի 2 դոլար։ Սակայն եթե այդ նույն տոկոսները հաշվարկենք տարվա մեջ երկու անգամ, ապա 1 դոլարը կբազմապատկվի 1.5-ով կրկնակի անգամ, արդյունքում ստանալով 1.00×1.5²=2.25 դոլար։ Տոկոսների հաշվարկը քառորդ տարին մեկ անգամ կբերի 1.00×1.25⁴=2.44140625 դոլար արդյունքի և այդպես շարունակ։ Բերնուլին ցույց տվեց, որ եթե տոկոսի հաշվարկի հաճախականությունը անվերջ մեծացնենք, ապա տոկոսային եկամուտը բարդ տոկոսի դեպքում ունի այսպիսի սահման՝ $\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ և այդ սահմանը հավասար է 2,71828…

1.00×(1+1/12)¹² = 2.613035… դոլար

1.00×(1+1/365)³⁶⁵ = 2.714568… դոլար

Այսպիսով, $e$ հաստատունը նշանակում է առավելագույն մեծ տարեկան եկամուտ 100% տարեկանի դեպքում և տոկոսների կապիտալիզացիայի առավելագույն մաս։

Այս հաստատունի առաջին հայտնի օգտագործումը, որտեղ այն նշանակված էր $b$ տառով, հանդիպել է 1690-1691 թվականներին Լեյբնից Գյույտենսուի նամակներում։

$e$ տառը սկսեց օգտագործել էյլերը 1727 թվականին, իսկ այդ տառով առաջին հրապարակումը եղել է նրա «Մեխանիկա կամ գիտություն շարժման մասին՝ մեկնաբանված անալիտիկորեն» աշխատությունում 1736 թվականին։ Համապատասխանաբար, $e$ –ն սովորաբար անվանում են Էյլերի թիվ։ Չնայած հետագայում որոշ գիտնականներ սկսեցին օգտագործել $c$ տառը, այնուամենայնիվ $e$ տառը օգտագործվում էր ավելի հաճախ և մեր օրերում էլ հանդիսանում է ստանդարտ նշանակում։

Ինչու հենց $e$ տառն ընտրվեց՝ անհայտ է։ Հնարավոր է, որ այն կապված է նրա հետ, որ նրանով սկսվում է $exponential$ («ցուցչային», «էքսպոնենտային») բառը։ Մեկ այլ ենթադրությամբ $a, b, c$ և $d$ տառերը այլ նպատակներով ավելի հաճախ են օգտագործվել, և $e$ -ն առաջին «ազատ» տառն էր հանդիսանում։ Հատկանշական է նաև, որ $e$ -ն հանդիսանում է Էյլերի ( $Euler$ ) ազգանվան առաջին տառը։

Մոտարկումներ

Թիվը կարելի է հիշել որպես 2,7 և կրկնվող 18, 28, 18, 28 թվեր։
Հիշվող կանոն՝ 2 և 7, հետո երկու անգամ Լև Տոլստոյի ծննդյան տարեթիվը (1828), այնուհետև հավասարակողմ ուղղանկյուն եռանկյան անկյունները (45, 90 և 45 աստիճաններ)։
$e$ թվի կանոնը կապվում է ԱՄՆ նախագահ Էնդրյու Ջեքսոնի հետ. 2 անգամ ընտրվել է, եղել է ԱՄՆ-ի 7-րդ նախագահը, 1828 թվականը նրա ընտրվելու թվականն է, կրկնվում է երկու անգամ, քանի որ Է.Ջեքսոնը ընտրվել է երկու անգամ։ Այնուհետև հավասարակողմ ուղղանկյուն եռանկյուն։
Ստորակետից հետո երեք նշանի ճշտությամբ «սատանայի թվի» օգնությամբ. անհրաժեշտ է 666-ը բաժանել թվի վրա, որը կազմված է 6-4, 6-2, 6-1 թվերից (երեք վեցեր, որոնցից հակառակ կարգով հեռացվում է երկուսի առաջին երեք աստիճանները)՝ 666245≈2,718 ${666 \over 245} \approx 2,718$ ։
թիվը հիշվում է որպես 66610⋅666−13 $\frac{666}{10 \cdot \sqrt{666} - 13}$ (0,001-ի ճշտությամբ)։
$e$ թվի կոպիտ մոտարկումը (0,001-ի ճշտությամբ) հավասար է⋅cos⁡6 $\pi \cdot \cos {\pi \over 6}$ ։ Առավել կոպիտ մոտարկմամբ (0,01-ի ճշտությամբ) այն արտահայտվում է 5⋅−13 $5 \cdot \pi - 13$ արտահայտությամբ։
«Բոյինգի կանոնը».≈4⋅sin⁡0,747 $e \approx 4 \cdot \sin 0,747$ տալիս է 0,0005-ի ճշտություն։
10−7 $10^{-7}$ -ի ճշտությամբ՝≈3−563 $\,\,\,\,e \, \approx \, 3 - \sqrt { \frac {5}{63}} \,\,\,$ ,

10−9 $10^{-9}$ -ի ճշտությամբ՝≈2,7+182899990 $e \approx 2,7 + \frac {1828}{99990}$ ,4,6⋅10−10 $4,6 \, \cdot \, 10^{-10}$ -ի ճշտությամբ՝≈3−9394337 $\,\, \,\,e \, \approx \, 3 - \frac {93}{94} \sqrt { \frac {3}{37}}$ :

1/≈(1−1106)106 $1/e \approx (1-\frac{1}{10^6})^{10^6}$ , 0,000001 ճշտությամբ։
19/7 հարաբերությունը $e$ թիվը գերազանցում է 0,004-ից փոքր։
87/32 թիվը գերազանցում է $e$ թիվը 0,0005-ից փոքր։
193/71 թիվը գերազանցում է $e$ թիվը 0,00003-ից փոքր։
1264/465 թիվը գերազանցում է $e$ թիվը 0,000003-ից փոքր։
2721/1001 թիվը գերազանցում է $e$ թիվը 0,000002-ից փոքր։
23225/8544 թիվը գերազանցում է $e$ թիվը 0,00000001-ից փոքր

e (թիվ) Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները

Posted on December 11, 2023 by Ալիկ Ասատրյան

e թիվ – բնական լոգարիթմի հիմքը, մաթեմատիկական հաստատուն, իռացիոնալ և տրանսցենդենտ թիվ։ Երբեմն $e$ -ն անվանում են Էյլերի թիվ կամ Նեպերի թիվ։ Նշանակվում է լատինական « $e$ » փոքրատառով։

$e$ թիվը կարևոր դեր է կատարում դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվներում, ինչպես նաև մաթեմատիկայի այլ բաժիններում։

Քանի որ $e^x$ ցուցչային ֆունկցիայի ինտեգրալը և դիֆերենցիալը հավասար են հենց իրեն, այդ իսկ պատճառով $e$ հիմքով լոգարիթմները ընդունվում են որպես բնական։

Տնտեսական առումով $e$ թիվը նշանակում է առավելագույն հնարավոր տարեկան եկամուտ 100% տարեկան աճի դեպքում և տոկոսի կապիտալիզացիայի առավելագույն հաճախություն։

Որոշման եղանակները[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

$e$ թիվը կարող է որոշվել մի քանի եղանակներով։

Սահմանի միջոցով՝

$e = \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ (երկրորդ նշանավոր սահմանը)։

Որպես շարքի գումար՝

$e = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$ կամ ${\frac{1}{e}} = \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n!}}$ $e = 2 + \sum \limits _{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)!}$ :

Որպես միակ $a$ թիվ, որի համար տեղի ունի՝

∫1=1 $\int\limits_{1}^{a} \frac{dt}{t} = 1$ :

Որպես միակ դրական $a$ թիվ, որի համար ճիշտ է՝

$\frac d {dt} a^t = a^t$ :

e թվի արժեքը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

$e$ = 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354

Ստորակետից հետո $e$ թվի առաջին 1000 նիշերը^[1]։

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

$\frac{de^x }{dx} = e^x$ ։

Այս հատկությունը մեծ դեր է կատարում դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման համար։ Օրինակ, $\frac{df(x)}{dx} = f(x)$ դիֆերենցիալ հավասարման միակ լուծումը հանդիսանում է $\!f(x) = c e^x$ ֆունկցիան, որտեղ $c$ -ն կամայական հաստատուն է։

$e$ թիվը իռացիոնալ է և նույնիսկ տրանսցենդենտ։ Իր տրանսցենդենտությունը ապացուցվել է 1873 թվականին Շարլ Էրմիտի կողմից։ Ենթադրվում է, որ $e$ -ն նորմալ թիվ է, այսինքն՝ նրա գրառման մեջ տարբեր թվերի հանդիպելու հավանականությունը նույնն է։

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները(Տարամիտություն և զուգամիտություն)

Posted on December 11, 2023 by Ալիկ Ասատրյան

Տարամիտություն և զուգամիտություն , մաթեմատիկական հասկացություններ, որոնցով անվանվում են տվյալ փոփոխական մեծության վերջավոր սահման ունենալը (զուգամետ) կամ չունենալը (տարամետ)։ Այս իմաստով են հասկացվում հաջորդականության, շարքի, անվերջ արտադրյալի, անիսկական ինտեգրալի տարամիտություն և զուգամիտություն։ Ասում են, որ [an] հաջորդականությունը զուգամիտում է a-ին, եթե liman = a։ Զուգամիտության հասկացությունն արդարացվում է, օրինակ, այն դեպքերում, երբ մաթեմատիկական որևէ օբյեկտ ուսումնասիրելիս կառուցվում է որոշ իմաստով ավելի պարզ այնպիսի օբյեկտների հաջորդականություն, որոնք հետզհետե մոտենում են տրվածին։ Այսպես, օրինակ, շրջանագծի երկարությունը սահմանելու և ցանկացած մոտավորությամբ հաշվելու համար օգտվում են շրջանագծին ներգծած կանոնավոր բազմանկյունների պարագծերի հաջորդականությունից։ Միևնույն մեծությունը կարելի է ներկայացնել տարբեր շարքերով։ Ուստի կարևոր նշանակություն ունի շարքի զուգամիտման «արագությունը», որի համար տրվում են տարբեր սահմանումներ, օրինակ, եթե Гп-ը և pn-ը երկու զուգամետ շարքերի մնացորդներ են և lim !ճ=0, ապա առաջին շարքը զուգամիտում է ավելի արագ։ Գոյություն ունեն շարքերի զուգամիտումը «լավացնելու», այսինքն՝ տվյալ շարքն ավելի արագ զուգամիտող շարքով փոխարինելու տարբեր եղանակներ։ Եթե {an} հաջորդականության անդամները պատկերենք որպես թվային ուղղի կետեր, ապա այդ հաջորդականության զուգամիտումն a-ին կնշանակի, որ ո-ը աճելիս an և a կետերի միջև հեռավորությունը ցանկացած չափով փոքրանում է։ Այս իմաստով տարամիտություն և զուգամիտություն հասկացություններն ընդհանրացվում են հարթության և տարածության կետերի, ընդհանրապես այնպիսի օբյեկտների հաջորդականության դեպքում, որոնց համար այս կամ այն իմաստով սահմանվում են հեռավորության, նորմայի, շրջակայքի հասկացություններ։ Ֆունկցիաների հաջորդականության համար սահմանվում են տարբեր իմաստներով զուգամիտություններ, զուգամիտություն որևէ կետում, բազմության վրա, բազմության վրա գրեթե ամենուրեք, բազմության վրա հավասարաչափ, ըստ չափի և այլն։ Արդի մաթեմատիկայի տարբեր բաժիններում դիտարկվում են նաև զուգամիտություններ ըստ նորմայի, թույլ, ըստ մասնակիորեն կարգավորյալ բազմության, ըստ հավանականության ևն։ Տարամետ շարքերը նույնպես լայնորեն օգտագործվում են մաթեմատիկայում և նրա կիրառություններում, տարբեր եղանակներով նրանց վերագրելով ընդհանրացված իմաստով գումարներ (տես շարքերի գումարման մեթոդներ)։

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները(Սահման)

Posted on December 11, 2023 by Ալիկ Ասատրյան

Սահման, արժեք մաթեմատիկայում, որին ֆունկցիան կամ հաջորդականությունը «ձգտում» են, երբ փոփոխականը «ձգտում» է որոշակի արժեքի։ Սահմանը հիմնական հասկացություն է մաթեմատիկական անալիզում և օգտագործվում է այնպիսի հասկացություններ սահմանելիս, ինչպիսիք են՝ անընդհատությունը, ածանցյալը և ինտեգրալը։c’;

Հաջորդականության սահմանի ավելի ընդհանրացված գաղափարը տոպոլոգիական ցանցերի սահմանն է և սերտորեն կապված է կատեգորիաների տեսության սահմանի և ուղիղ սահմանի հետ։

Բանաձևերու ֆունկցիայի սահմանը սովորաբար նշանակվում է հետևյալ կերպ՝ $\lim _{x\to c}f(x)=L,$

և կարդացվում է $f(x)$ ֆունկցիայի սահմանը, երբ $x$ -ը ձգտում է $c$ -ի հավասար է $L$ -ի»։ Այս փաստը նաև նշանակում են հետևյալ կերպ՝ $f(x)\to L{\text{ as }}x\to c$ ։

Ֆունկցիայի սահման

Ենթադրենք $f$ -ը իրական ֆունկցիա է իսկ $c$ -ն՝ իրական թիվ։ Հետևյալ արտահայտությունըlim→ $\lim _{x\to c}f(x)=L$

ինտուիտիվ նշանակում է, որ $f(x)$ ֆունցիայի արժեքը կամայական չափով կարող է մոտենալ $L$ -ին՝ $x$ թիվը $c$ -ին բավարար մոտ ընտրելու դեպքում։ Այդ դեպքում ասում են, որ $f(x)$ ֆունկցիայի սահմանը, երբ $x$ -ը ձգտում է $c$ -ի հավասար է $L$ -ի»։

Սահմանի վերևի սահմանումը ճիշտ է անգամ եթե $f(c)\neq L$ ։ Տրված $f$ ֆունկցիան անգամ կարող է սահմանված չլինել $c$ կետում։

Օրինակ, եթե $f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

ուրեմն(1) $f(1)$ -ը սահմանված չէ, բայց երբ $x$ -ը ձգտում է 1 $1$ -ի, $f(x)$ -ը ձգտում է 2 $2$ -ի.

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.900	1.990	1.999	սահմանված չէ	2.001	2.010	2.100

Հետևաբար, $f(x)$ -ի արժեքը կարող է 2 $2$ -ին կամայական չափով մոտ լինել՝ 1-ին բավարար մոտ $x$ ընտրելու դեպքում։

Այլ կերպ ասած, lim $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2$ ։

Սա կարելի է հաշվել հանրահաշվորեն. մեկից տարբեր կամայական $x$ թվի համար ${\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1$ ։

Քանի որ 1 $x+1$ ֆունկցիան անընդհատ է 1 կետում, սահմանը գնելու համար կարելի է ֆունկցիայի մեջ տեղադրել1 $x=1$ արժեքը, հետևաբար՝ $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2$ ։

Իրական թվերից բացի սահմանված է ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։ Օրինակ՝ $f(x)={2x-1 \over x}$

f(100) = 1.9900
f(1000) = 1.9990
f(10000) = 1.99990

Շատ մեծ $x$ արժեքների դեպքում $f(x)$ ֆունկցիայի արժեքը 2-ին կամայական չափով մոտ կարող է լինել։ Այս դեպքում ասում են, որ $f(x)$ ֆունկցիան ձգտում է 2-ի, երբ $x$ -ը ձգտում է անվերջության։ Այս փաստը նշանակում են հետևյալ կերպ՝ $\lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2$ ։

Հաջորդականության սահման]

Հիմնական հոդված՝ Հաջորդականության սահման

Ենթադրենք $a_{1},a_{2},...$ -ը իրական թվերի հաջորդականություն է։ Ասում են, որ $L$ իրական թիվը այս հաջորդականության սահմանն է, եթե $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ ,

որը կարդում են՝ $a_{n}$ հաջորդականությանը սահմանը, երբ $n$ -ը ձգտում է անվերջության, $L$ է։

Այս արտահայտությունը նշանակում է, որԿամայական>00}”> իրական թվի համար գոյություն ունի այնպիսի $N$ բնական թիվ, որ բոլոր N}”> թվերի համար ճիշտ է <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85251ef62e15c6fd0f510879850064ac6034c969" alt="{\displaystyle |a_{n}-L| արտահայտությունը։

Ինտուիտիվ սա նշանակում է, որ ի վերջո հաջորդականության բոլոր անդամները սահմանին կամայական չափով մոտ կլինեն, քանի որ $|a_{n}-L|$ բացարձակ արժեքը $a_{n}$ -ի և $L$ -ի հեռավորությունն է։ Ոչ բոլոր հաջորդականությունները ունեն սահման։ Սահման ունեցող հաջորդականությունները կոչվում են զուգամետ հաջորդականություններ, իսկ չունեցողները՝ տարամետ։ Զուգամետ հաջորդականությունները ունեն մեկ սահման։

Հաջորդականության և ֆունկցիայի սահմանները սերտորեն կապված են։ Օրինակ՝ $a_{n}$ հաջորդականության սահմանը, երբ $n$ -ը ձգտում է անվերջության, նույնն է ինչ $n$ բնական թվերի վրա սահմանված ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։

Անհատական աշխատանք Հեռախոսի ստեղծման պատմություն

Posted on June 16, 2022June 16, 2022 by Ալիկ Ասատրյան

Սմարթֆոնների համար սկիզբ են ծառայել կոճակային հեռախոսները, հսկայական եւ անասելի գանգուրները, որոնք ոմանք ոչ թե այն, ինչ իրենց ձեռքում չեն պահել,այլ, հնարավոր է, ընդհանրապես, նույնիսկ չեն տեսել: Բայց ես ուղղակի պարտավոր եմ պատմել ձեզ, թե ինչից է սկսվել հեռախոսներ ընդհանրապես, եւ թե ինչպես են նրանք հասել են նրան, որ մենք տեսնում ենք հիմա: Այնպես որ, ստանալ հարմարավետ մենք սկսում!Սկիզբը nachalvse սկսվել է 1973 տարի, այն էր, ապա առաջին բջջային հեռախոսը ստեղծվել.Իսկ ստեղծել է այն Martin — ի հիմնադիր Motorola ընկերության, Հենց այդ մարդը, եւ հենց այս ընկերությունը համարում է ստեղծել Ձեր այսօրվա Սմարթֆոններ! Ընդհանրապես, նայելով Motorola ընկերությանը, դժվար է նույնիսկ մտածել այն մասին, թե որքան մեծ ներդրում են նրանք կատարել պատմության մեջ, քանի որ այս պահին նրանք ներքեւի մասում շուկայում եւ խաղում են ոչ թե իրենց կանոններով, ինչպես նախկինում … վերլուծական ընկերությունը Counterpoint հրապարակել է արդյունքները երկրորդ եռամսյակի 2019 թ սմարթֆոնների շուկայում. Առաջատարների եռյակում փոփոխություն է, բայց ինչ-որ մեկին հաջողվել է ավելացնել վաճառքի քրգործ է հարուցվել, իսկ ինչ-որ մեկը շարունակում է իր անկումը ։ Բայց ամեն ինչի մասին, որպեսզի.Վաճառված սմարթֆոնների քանակով շուկայի եռյակում ով է մնում հարավկորեական Samsung ընկերությունը։ Այն եռամսյակում վաճառել է 76,6 մլն սարք, իսկ դա 7,1 տոկոսով ավելի է, քան նախորդ տարվա նույն ժամանակահատվածում: Այժմ արտադրողի թիվ 1 21,3% շուկայում.Հաջորդ գալիս Huawei. Չինական ընկերությանը դեռ չի հաջողվել առաջ անցնել Samsung-ից, և մինչև առաջատարությունը դեռ հեռու է.Huawei-ն ունի 56,7 մլն վաճառված սմարթֆոն, այսինքն ՝ 20 մլն-ով պակաս Samsung-ից ։ Փոխարենը դա 4,6 տոկոսով ավելի է նախորդ տարվա ցուցանիշներից։ Արդյունքում Huawei-ն ունի շուկայի 15,8% – ը ։ Երրորդ տեղում Apple-ն է, և այստեղ արդեն ամեն ինչ տխուր է ։ Ընկերությունը վաճառել է 36,4 մլն iPhone, իսկ դա 11,9 տոկոսով պակաս է, քան 2018 թվականի երկրորդ եռամսյակում:Ընկերության ֆինանսական հաշվետվությունում ասվում է, որ սմարթֆոնների վաճառքները նվազել են 12 տոկոսով ՝ հասնելով 25,99 մլրդ դոլարի: Եվ առաջին անգամ, քանի որ 2012 թ., iPhone-ի վաճառքի հասույթը պակաս, քան կեսը Apple-ի ընդհանուր եկամուտների.Այնուամենայնիվ, այժմ Apple-ը զբաղեցնում է շուկայի 10,1% – ը, սակայն կարող է զիջել երրորդ տեղը Xiaomi-ին, որն այժմ ունի 32,3 մլն վաճառքի սմարթֆոնների շուկայի 9% – ը:

Անհատական աշխատանք Շախմատի ստեղծման պատմություն

Posted on June 16, 2022June 16, 2022 by Ալիկ Ասատրյան

Առավել հայտնի եւ սիրված հանրային Սեղանի խաղեր են, իհարկե, շախմատ. Իր նմանը ՝ սեղանի խաղերից, հենց շախմատն է առաջինը արժանացել պաշտոնական մարզաձևի կոչմանը։ Ընդ որում, սա ոչ միայն խաղասերների հավաք է, այլ նաև լայնածավալ պրոֆեսիոնալ շախմատային մրցաշարեր, որոնցում ներգրավված են բազմամիլիոնանոց միջոցներ ։ Շախմատի զարգացման պատմության մեջ իրենց լուման են ներդրել եվրոպական երկրները, Ասիան և Արևելքը ։ Առաջին անգամ խաղը հայտնվել է Հնդկաստանում, որպես մեթոդ ուսուցման ռազմավարության եւ մարտավարության ռազմական գործողությունների. Կա մի հին տալու մասին, թե ինչպես է մեկ հնդիկ մաթեմատիկոս անունով նիստը ցույց տվեց խաղը հարուստ radja, որը նա շատ դուր եկավ. Եվ իր երախտագիտությունը հայտնելու համար Նա խոստացել է կատարել ցանկացած ցանկություն, որը ցանկանում է նիստը: Որքան էլ զարմանալի է, մաթեմատիկոսն ընտրել է մրցանակը բրնձի կամ ցորենի հատիկների տեսքով, Ընդ որում ՝ որոշակի քանակությամբ ։ Քանի որ դուք guessed, կա ինչ-որ բռնել, եւ դուք չեք սխալվում. Սեսան ասել է, որ Ռաջան շախմատի տախտակի առաջին վանդակի վրա պետք է դնի ընդամենը մեկ հատիկ, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդում ՝ երկու անգամ ավելի, քան մինչ այդ: Եվ մաթեմատիկայի հետաքրքրասեր միտքը չի կորցրել: Այս սկզբունքով հացահատիկի ընդհանուր քաշը կազմել է գրեթե 1,2 տրլն ։ տոննա! Հասկանալի է, որ նույնիսկ հարուստ Ռաջան չի կարողանում զսպել իր խոստման այնպիսի գինը, որը ստիպված է եղել խախտել ։ Ծանրակշիռ կերպարանափոխություն ստացան շախմատ, երբ հայտնվեցին Արևելքում։ Փոփոխությունները տեղի են ունեցել ֆիգուրների տեսքով, քանի որ Իսլամական կրոնում չի կարելի կենդանի արարածներ պատկերել, այժմ դրանք ավելի նման են ժամանակակից աբստրակտ ֆիգուրներին: Քանի որ պարզեցված ձեւերի շախմատի իրենց արտադրության եւ արտադրության զբաղեցրել է ավելի քիչ ժամանակ եւ աշխատանք, ուստի գինը նրանց վրա նվազել է: Որի հետևանքով խաղը դադարել է լինել ռազմավարական զորավարժությունների իրավասությունը և հասանելի է դարձել բնակիչներին ։ Այդ ժամանակից ի վեր շախմատը ստանդարտ սեղանի խաղ է: Եվրոպայում շախմատի տարածումն ու ներդրումը փշոտ ճանապարհ է անցել ։ Խաղը անմիջապես արգելվել է ծառայողների եկեղեցու. Բայց դա ծառայել է միայն ավելի մեծ հետաքրքրություն է հասարակ քաղաքացիների եւ ֆեոդալների.Հետեւաբար, շախմատը արդեն XV դարում եղել է ամենատարածված եւ հայտնի խաղ է աշխարհում.Շախմատային խաղը չի դադարում զարգացման, անընդհատ փոխվում. Մշակվում են նոր կանոններ, ի հայտ են գալիս նոր ռազմավարական հնարքներ և քայլեր ։ Այսօր, դուք կարող եք խաղալ շախմատ տանը համակարգչի կամ ինտերնետի. Օնլայն ռեժիմով արդեն անցկացվել է շախմատի առաջին միջազգային մրցաշարը։ Եվ այս պատմությունը շախմատի չի ավարտվում, քանի որ հետաքրքրասեր միտքը երկրպագուների եւ երկրպագուների այս սեղանի խաղի անպայման գալ ինչ-որ բան նոր է եւ հետաքրքիր.

Անհատական նախագիծ մարտ ամսվա համար

Posted on June 16, 2022 by Ալիկ Ասատրյան

Քանի որ տիեզերքն անսահման է, որքան էլ զարգանա տիեզերագնացությունն ու գիտությունը, միևնույն է, այն դեռ մեծապես բացահայտված չէ։ Տիեզերքը երբեք հնարավոր չէ մինչև վերջ ուսումնասիրել ու բացահայտել, և գուցե հենց դա է այն դարձնում այսքան գրավիչ ու հետաքրքրաշարժ բոլորի համար: Մարդիկ տարիներ են անցկացնում՝ հասկանալու համար տիեզերքի մի չնչին մասի առանձնահատկությունները, և նվիրում են իրենց ամբողջ կյանքն այս ոլորտի ուսումնասիրությանը: Տիեզերքը կազմված է աստղերից, գալակտիկաներից և մոլորակներից։

Ես առանձնացրել եմ 15 հետաքրքիր փաստ տիեզերքի մասին:

Գիտեի՞ք որ

1. Արևը մեր Երկիր մոլորակից մեծ է 300 000 անգամ:

2. Եթե մենք փորձենք գոռալ տիեզերքում, ոչ ոք մեզ չի լսի, քանի որ այնտեղ մթնոլորտ չկա, հետևաբար ձայնը չի տարածվի: Նույնիսկ եթե կրակեք տիեզերքում, ձեր կողքի կանգնածը կրկին չի լսի դրա ձայնը:

3. Յուպիտերն այնքան մեծ է, որ իր ներսում կտեղավորվեն հազարավոր Երկիր մոլորակներ: Դրա վրա կտեղավորվեն նաև Արեգակնային համակարգի բոլոր մնացած մոլորակները, քանի որ այն համակարգի ամենամեծ մոլորակն է:

4. Որքան մեծ է աստղի չափը, այնքան կարճ է նրա կյանքի տևողությունը:

5. Մարդկությանը հայտնի աստղերից ամենատաքը կոչվում է Ատրճանակ: Նրա արձակած արևային քամին 10 միլիարդ անգամ ուժեղ է Արևի արձակած քամուց:

6. Որքան էլ տարօրինակ թվա, բայց ամենասառը աստղերը կարմիր գույն ունեն, իսկ ամենատաքերը՝ երկնագույն:

7. Առաջինը տիեզերանավից բաց տիեզերք է դուրս եկել Գեորգի Գրեչկոն՝ այնտեղ անցկացնելով 23 րոպե 41 վայրկյան, ու հետո դժվարությամբ է կարողացալ ներս մտնել, քանի որ սաղավարտը զգալի ուռել ու մեծացել էր չափերով:

8. Իսկ բաց տիեզերքում ամենաշատն անցկացրած ժամանակի ռեկորդը պատկանում է ԱնԱԱԱտոլի Սոլովյովին, որն այնտեղ հայտնվել է 16 անգամ՝ ընդհանուր առմամբ 82 ժամ 22 րոպեով:

9. Առաջինը Լուսնի վրա ոտք դրած տիեզերագնացը Նիլ Արմսթրոնգն էր, որը այդ նպատակի իրականացմանը պատրաստվել էր 10 տարի:

10. Տիեզերագնացների սննդի մեծ մասը հեղուկ, ավելի ճիշտ՝ գելային տեսքով է և պահպանվում է ատամի մածուկի տարային նմանվող ամանների մեջ:

11. Պարզվում է՝ լուսնի մակերևույթին թողած հետքերը հավերժ պահպանվում են, իհարկե, եթե արտաքին ազդակները դրան չխանգարեն: Այդպիսին կարող է լինել օրինակ երկնաքարը: Ի դեպ, ամեն տարի լուսինը Երկրից հեռանում է 3,8 սանտիմետրով։

12. 2004 թվականին աստղագետները հայտնաբերեցին մի աստղ, այն ամբողջովին ադամանդներից է կազմված: Այս աստղի երկարությունը 38 624 կմ է: Այն կազմված է 10 միլիարդ տրիլիոն տրիլիոն կարատից: Այն 50 լուսնային տարով հեռու է Երկրից։

13. Լայկա շունը առաջին երկրային արարածն էր, ով ճանապարհորդեց տիեզերք 1957 թվականին։ Այդ ժամանակ նա 3 տարեկան էր։

14. Վեներայի վրա մեկ տարին հավասար է Երկրի 224 օրվան, սակայն 1 օրը՝ Երկրի 243 օրվան: Այսինքն՝ այս մոլորակն Արեգակի շուրջն ավելի արագ է պտտվում, քան Երկիրը, մինչդեռ իր առանցքի շուրջը՝ 243 անգամ ավելի դանդաղ։

15. Տիեզերագնացների համար կրկին Երկիր մոլորակ գալը կարելի է համարել վերածնունդ. բանն այն է, որ տիեզերքից վերադառնալուց հետո նրանք մեծ դժվարությամբ են կարողանում շարժվել։